วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1

ลำดับ

บทนิยาม      ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่  1   เรียกว่าลำดับ

ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    { 1, 2, 3, …, n }  เรียกว่า    ลำดับจำกัด

และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }  เรียกว่า   ลำดับอนันต์

 1.ความหมายของลำดับ

ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป

กล่าวคือ  ถ้า a  เป็น ลำดับจำกัด  จะเขียนแทนด้วย   a₁,   a₂,  a₃,  …,  a_n

และ        ถ้า a  เป็น ลำดับอนันต์  จะเขียนแทนด้วย  a₁,  a₂,  a₃,  …,  a_n,  …

เรียก           a₁   ว่า  พจน์ที่ 1  ของลำดับ

เรียก          a₂   ว่า  พจน์ที่ 2  ของลำดับ

เรียก          a₃   ว่า  พจน์ที่ 3  ของลำดับ

 

และเรียก   a_n  ว่า  พจน์ที่ n  ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ

 2. ตัวอย่างของลำดับ

                        1)   4,  7,  10,  13    เป็น   ลำดับจำกัด  ที่มี

a₁             =           4
a₂             =           7
a₃             =            10
a₄             =            13
และ     a_n             =            3n + 1

2)    – 2,  1,  6,  13,  …   เป็น   ลำดับอนันต์    ที่มี

                                             a₁             =           – 2
a₂             =           1
a₃             =           6
a₄             =           13
และ   a_n             =            n² – 3

การเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n  หรือพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน

ตัวอย่าง

1)      ลำดับ  4,  7,  10,  13    อาจเขียนแทนด้วย

a_n     =  3n  +  1                                เมื่อ  n    {  1,  2,  3,  4  }

2)     ลำดับ   – 2 ,  1,  6,  13,  …  อาจเขียนแทนด้วย

a_n     =      n² – 3                              เมื่อ  n  เป็นจำนวนเต็มบวก

หมายเหตุ       ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน

ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็น  ลำดับอนันต์

3.ตัวอย่าง ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับจำกัด หรือ ลำดับอนันต์

   ลำดับจำกัด  เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n พจน์แรก

   ลำดับอนันต์  เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

1)    6,  12,  18,  24,  30       เป็นลำดับจำกัด

2)    2,  4,  8,  16,  …,  ,  …        เป็นลำดับอนันต์

3)    a_n   =   5n  – 2   เมื่อ   n    {  1,  2,  3,  …,  20 }    เป็นลำดับจำกัด

4)              เป็นลำดับอนันต์

5)    a_n   =    n²  +  3        เป็นลำดับอนันต์

 

 ลำดับเลขคณิต

บทนิยาม  ลำดับเลขคณิต   คือ  ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1  ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ
และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า  ผลต่างร่วม  ( Common  difference )

ถ้า  a₁,  a₂,  a₃,  …,  a_n,  a_n+1 ,  … เป็นลำดับเลขคณิต  แล้ว

จะได้  a₂ – a₁  =   a₃ –   a₂   =   …   =   a_n+1 –  a_n    เท่ากับ  ค่าคงที่ 

เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ ผลต่างร่วม ” (Common difference)    เขียนแทนด้วย  “ d  ”

              จากบทนิยาม                d              =        a_n+1  –   a_n

หรือ      a_n+1        =        a_n    +    d

ความหมายของลำดับเลขคณิต

พิจารณา         ลำดับ   1,  4,  7,  10,  …

 

ซึ่ง            a₂  –   a₁      =       4 – 1   =       3

a₃  –   a₂      =       7 – 4   =       3

a₄  –   a₃      =      10 – 7  =       3

จะเห็นว่า  ผลต่างของพจน์หลัง ลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่ เท่ากับ  3

เรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า  ผลต่างร่วม  และเรียกลำดับนี้ว่า  ลำดับเลขคณิต

ตัวอย่าง  ลำดับเลขคณิต

1. ลำดับ   1,  3,  5, …,  99   เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ   2
2. ลำดับ   6,  3,  0, …, -27  เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ  -3
3. ลำดับ   5,  5,  5, …,  5     เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ   0
4. ลำดับ   0,  0,  0, …,  0     เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ   0

จากตัวอย่างข้างต้น จะพบว่า d เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ ถ้า  d = 0  จะได้ว่าทุกพจน์ของลำดับมีค่าเท่ากัน
และเรียกลำดับนี้ว่า “ลำดับคงตัว”  เช่น ข้อ 3 และข้อ 4

รูปทั่วไป

เราสามารถกำหนด ลำดับเลขคณิต a₁,  a₂,  a₃, …,  a_n, … ดังนี้
ให้ a₁ เป็นพจน์แรกของลำดับ  และ d  เป็นผลต่างร่วม
และให้      a_n        =        a_{n – 1}  +   d             เมื่อ   n    2

จะได้      a₂         =         a₁    +   d

a₃         =         a₂    +   d

=         ( a₁  +  d )  +  d                 =             a₁  +  2d

a₄         =         a₃  +  d

=         ( a₁  + 2d )  +  d                =             a₁  +  3d

    .
.
.

a_n         =         a₁ + (n – 1 )d

ดังนั้น  รูปทั่วไปของลำดับเลขคณิต คือ  a₁,  a₁+ d,  a₁ + 2d,  a₁ + 3d,…, a₁ + (n – 1 )d

ตัวอย่าง  จงเขียนสี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิต  เมื่อกำหนดพจน์แรก เท่ากับ  2 และผลต่างร่วม เท่ากับ – 3

การหาพจน์ต่าง ๆ ของลำดับเลขคณิต

กำหนดลำดับเลขคณิต   a₁ ,  a₂ ,  a₃ ,  …   ให้ a₁ เป็นพจน์แรกของลำดับ

และ d  เป็นผลต่างร่วม  จะเขียนพจน์อื่นๆ ของลำดับเลขคณิตในรูปของ a₁  และ d  ดังนี้

a₁        =        a₁

a₂        =        a₁ + d

a₃        =         a₁ + 2d

a₄        =         a₁ + 3d
    .
.
.

ดังนั้น    a_n       =        a₁  +  ( n – 1 )d

   สรุป   พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต คือ  

เมื่อ a_n     คือ     พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิ
a₁    คือ     พจน์ที่ 1 ของลำดับเลขคณิต
n      คือ     ตำแหน่งของพจน์ที่ n
d      คือ     ผลต่างร่วม  (พจน์ที่ n+1 ลบด้วย พจน์ที่ n)

โจทย์กำหนดลำดับเลขคณิต  มี a1  =  2,  d  =  – 3ให้เขียน  a1 ,  a2 ,  a3 ,  a4ลำดับเลขคณิต                                  an + 1  =            an     +    da2       =           a1     +    d=             2       +   ( – 3  )             =            – 1a3      =           a2       +    d=             ( – 1 )  +  ( – 3  )          =             – 4 a4      =             a3        +   d =             ( – 4 )  +  ( – 3  )           =            – 7 ดังนั้น   สี่พจน์แรกของลำดับนี้ คือ  2,  – 1 ,  – 4,  – 7

 

ลำดับเรขาคณิต

บทนิยาม     ลำดับเรขาคณิต  คือ  ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n  เป็นค่าคงที่
ทุกค่าของจำนวนนับ n  และเรียกค่าคงที่นี้ว่า  “ อัตราส่วนร่วม ”

ถ้า  a₁,    a₂,    a₃,    …,    a_n,    a_n+1   เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้
เท่ากับค่าคงที่  เรียกค่าคงที่นี้ว่า  “ อัตราส่วนร่วม ” (Common  ratio)    เขียนแทนด้วย    r

            ตัวอย่าง    ลำดับเรขาคณิต

ความหมายของลำดับเรขาคณิต

พิจารณา        ลำดับ             1,   2,    4,    8,    …

ใช้แผนภาพการทำซ้ำดังแผนภาพที่แสดงอยู่ข้างล่างเพื่อช่วยให้นักเรียนมองเห็นสิ่งที่อยู่ใต้กระบวนการทำซ้ำที่ใช้ในการสร้างจำนวนอย่างต่อเนื่อง ลูกศรแสดงวงจรที่ทำให้เกิดการเวียนทำกระบวนการเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก

ลำดับ             1,   2,    4,   8,   …

ลำดับนี้เกิดจาก            1

1      2                 =             2

2      2                 =             4

4      2                 =             8

                                              

                        เรียกลำดับนี้  ว่า  ลำดับเรขาคณิต

                        พิจารณา     ลำดับ  1,   2,    4,    8,    …

ซึ่ง                   a₂    a₁                 =             2     1                  =             2

a₃     a₂                 =             4     2                  =             2

a₄     a₃                 =             8     4                  =             2

จะเห็นว่า  อัตราส่วนของพจน์หลัง หารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน มีค่าคงที่ เท่ากับ  2

เรียกค่าคงที่ว่า  อัตราส่วนร่วม  และเรียกลำดับนี้ว่า  ลำดับเรขาคณิต